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Lo studio dei modelli geofisici è un tema di ricerca non certo nuovo, ma assolutamente attuale ed in continua evoluzione, sia per la comprensione di importanti fenomeni terrestri come le correnti oceaniche ed atmosferiche, sia per lo studio di altri pianeti e corpi celesti (si pensi ad esempio al “great red spot” su Giove e le questioni ad esso collegate). In questi studi è importante capire sotto quali ipotesi i modelli semplificati, spesso utilizzati in campo fisico, sono davvero pertinenti e giustificati in modo rigoroso, e trovare eventuali termini correttivi dovuti ad effetti “del secondo ordine” che descrivano la dinamica in modo più appropriato. Non di secondaria rilevanza è poi l'analisi di situazioni che non rientrano nel quadro classico, in cui gli effetti della stratificazione sono predominanti, o comunque non trascurabili. La stabilità di certi fenomeni singolari (ad esempio cicloni, tifoni e tornado), in certi regimi fisici significativi (come la rotazione terrestre o una piccola viscosità), è una questione di primo piano, anche per migliorare le “risposte” pratiche che si possono fornire a tali eventi catastrofici. Per affrontare tali problemi è necessario sviluppare tecniche analitiche sufficientemente robuste. Lo studio e l’analisi matematica delle equazioni che descrivono i fenomeni in questione possono successivamente esser d’aiuto per problemi di stabilità (ed uniformità) di algoritmi numerici per modelli geofisici, rispetto ai piccoli parametri che entrano in gioco.

Figura 1: Great Red Spot su Giove osservato da Voyager 1 nel 1979

Si tratta di studiare, dal punto di vista matematico, sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono la dinamica di fluidi geofisici, caratterizzati da una veloce (rispetto alle scale del moto del fluido) rotazione (forza di Coriolis). Il problema è ormai piuttosto chiaro nel caso di un fluido omogeneo, per una forza di Coriolis costante ed in domini regolari. Queste ipotesi sono però troppo restrittive dal punto di vista fisico. Nello studio che abbiamo affrontato ci siamo occupati dell'analisi di alcuni problemi nella dinamica di fluidi geofisici che escono dal quadro di studio classico. In particolar modo ci siamo concentrati su un sistema di tipo Navier-Stokes-Fourier (fluidi conduttori di calore), in cui differenti scale del moto entrano in gioco con ordini di grandezza differente. Il modello descrive la dinamica di un fluido con densità e temperatura variabili, il quale è sottoposto a diverse forze: la pressione, la forza di Coriolis (data dalla rotazione terrestre), la forza centrifuga e la gravità. L’importanza di tali forze nella dinamica del fluido è legata alla scelta di scala di certi parametri fisici caratteristici, quali il numero di Mach (per la pressione), di Rossby (per la rotazione) e di Froude (per gli effetti di stratificazione).

Figura 2: Immagine dell’Italia scattata da Samantha Cristoforetti il 26 gennaio 2015

L'obiettivo nel nostro lavoro è stato quello di comprendere la dinamica del fluido nei diversi regimi (più precisamente, nei diversi rapporti tra i numeri caratteristici) e di sviluppare metodi di compattezza debole per derivare modelli-limite ridotti, al fine di rimuovere restrizioni sugli ordini di scala, imposte in precedenti studi. L’interesse di derivare tali modelli-limite ridotti risiede nel fatto che i suddetti sistemi-limite sono in generale più semplici del modello di partenza ma ancora in grado di descrivere con buona approssimazione la dinamica del sistema primitivo. Di particolare rilievo è il fatto che lo “scaling” (analizzato nel nostro contributo), in cui il numero di Froude è la radice quadrata del numero di Mach, rappresenta una scala critica in quanto al limite possiamo osservare dei deboli effetti di stratificazioni (totalmente trascurabili quando invece il numero di Mach governa la dinamica).

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